Programma di Meccanica Analitica effettivamente svolto nell'anno accademico 2018-2019 docente: V. Moretti


     


1 Lo Spazio ed il Tempo della Fisica Classica.
1.1 Lo spazio ed il tempo della fsica classica come spazi affni euclidei
1.1.1 Spazi Affini  riferimento matematico non verrà chiesto esplicitamente all'orale ma lo studente deve sapere usare queste nozioni nelle dimostrazioni
1.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie riferimento matematico non verrà chiesto esplicitamente all'orale ma lo studente deve sapere usare queste nozioni nelle dimostrazioni
1.1.3 Intepretazione passiva e attiva delle isometrie, il gruppo delle isometrie iferimento matematico non verrà chiesto esplicitamente all'orale ma lo studente deve sapere usare queste nozioni nelle dimostrazioni
1.1.4 Lunghezze d'arco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo delle isometrie.  riferimento matematico non verrà chiesto esplicitamente all'orale ma lo studente deve sapere usare queste nozioni nelle dimostrazioni
1.1.5 Lo spazio fisico e l'asse del tempo per un osservatore: regoli ed orologi ideali.
1.1.6 Orientazione di spazi euclidei e prodotto vettoriale
1.2 Introduzione alla nozione di varietà differenziabile 
1.2.1 Funzioni e curve differenziabili su una varietà

2 Lo Spaziotempo della Fisica Classica e la Cinematica Classica.
2.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti e linee di universo.
2.2 Sistemi di riferimento
2.2.1 *Una definizione alternativa di sistema di riferimento
2.2.2 Sistemi di coordinate solidali
2.3 Cinematica assoluta del punto materiale
2.3.1 Derivazione di curve in spazi affini riferimento matematico non verrà chiesto esplicitamente all'orale ma lo studente deve sapere usare queste nozioni nelle dimostrazioni
2.3.2 Grandezze cinematiche
2.3.3 Cinematica per punti materiali vincolati a curve e superfici ferme
2.4 Cinematica relativa del punto materiale
2.4.1 Vettore omega e formule di Poisson
2.4.2 Velocità ed accelerazione al variare del riferimento

3 Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali
3.1 Primo principio della dinamica
3.1.1 Sistemi di riferimento inerziali
3.1.2 Trasformazioni di Galileo
3.1.3 Moto relativo di riferimenti inerziali
3.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di punti materiali
3.2.1 Masse, Impulsi e Forze
3.2.2 Sovrapposizione delle forze
3.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo
3.3 Situazioni dinamiche più generali
3.3.1 Moto assegnato per un sottosistema: forze dipendenti dal tempo
3.3.2 Vincoli geometrici: reazioni vincolari solo quanto detto a lezione
3.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali
3.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica newtoniana solo accenni, vedere quanto fatto a lezione
3.4.1 Invarianza galileiana della meccanica classica solo accenni, vedere quanto fatto a lezione
3.4.2 Il fallimento del programma newtoniano
3.4.3 Un commento sul cosiddetto Principio di Mach
 
7 Introduzione alla teoria della stabilità
7.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio
7.1.1 Equilibrio stabile ed instabile
7.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilità
7.1.3 *Ancora sulla stabilità asintotica
7.1.4 Un criterio per l'instabilità basato sulla procedura di linearizzazione
7.2 Applicazioni a sistemi fisici della meccanica classica
7.2.1 Il teorema di Lagrange-Dirichlet.
7.2.2 Un criterio per l'instabilità
7.2.3 Stabilità delle rotazioni permanenti per corpi rigidi non giroscopici

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nella parte indicata in rosso del cap.7 sono stati presentati e discussi a lezione.

8 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana.
8.1 Un esempio introduttivo
8.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di Eulero-Lagrange
8.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli olonomi alcuni esempi e commenti non sono stati discussi, vedere quelli fatti a lezione
8.2.2 Grandezze cinematiche ed energia cinetica non svolto tutto insieme, ma svolto in varie tappe nelle lezioni
8.2.3 Spostamenti virtuali e vincoli ideali molti esempi non sono stati discussi, sapere solo quelli fatti a lezione
8.2.4 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi di un numero finito di punti materiali
8.3 *Estensione al caso di sistemi costituiti da corpi rigidi continui e punti materiali.
8.3.1 Sistemi articolati
8.3.2 Calcolo esplicito degli spostamenti virtuali e dell'energia cinetica di corpi rigidi continui
8.3.3 Generalizzazione dell'identità (8.33) ai corpi rigidi continui
8.3.4 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi articolati
8.4 Proprietà elementari delle equazioni di Eulero Lagrange
8.4.1 Normalità delle equazioni di Eulero-Lagrange
8.4.2 Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di Eulero-Lagrange sapere solo gli enunciati, non sono state fatte le dimostrazioni a lezione
8.4.3 Lagrangiane
8.4.4 Cambiamento di riferimento inerziale e non unicità della lagrangiana  non sono state fatte completamente le dimostrazioni sapere solo quanto svolto  a lezione
8.5 *Formulazione geometrico differenziale globale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
8.5.1 La struttura di varietà fibrata di V^n+1 e di A(V^n+1)
8.5.2 Il campo vettoriale dinamico Z
8.5.3 Sistemi lagrangiani senza lagrangiana globale

9 Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Lagrangiana.
9.1 Il cosiddetto Principio di Minima Azione per sistemi che ammettono lagrangiana
9.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni
9.1.2 Il principio di minima azione
9.2 I potenziali generalizzati solo quanto visto a lezione
9.2.1 Il caso della forza di Lorentz
9.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale
9.2.3 Condizioni per l'esistenza del potenziale generalizzato solo quanto visto a lezione
9.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali solo quanto visto a lezione
9.3 Configurazioni di equilibrio e stabilità attenersi a quanto fatto a lezione
9.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento NO proposizione 9.3
9.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet
9.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle coordinate normali.
9.4.1 Equazioni linearizzate e disaccoppiate: coordinate normali
9.4.2 Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione

10 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Noether e di Jacobi.
10.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione: coordinate cicliche
10.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati
10.1.2 Invarianza traslazionale e conservazione dell'impulso
10.1.3 Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare
10.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Emmy Noether
10.2.1 Trasformazioni su j1(Vn+1)
10.2.2 Il teorema di Noether in forma locale elementare
10.2.3 Invarianza dell'integrale primo di Noether per trasformazione di coordinate  accenni
10.2.4 Le trasformazioni di simmetria (debole) di un sistema lagrangiano trasformano
soluzioni delle equazioni di E.-L. in soluzioni delle stesse accenni
10.3 L'integrale primo di Jacobi, invarianza sotto traslazioni temporali e conservazione dell'energia meccanica
10.4 Commenti finali sul teorema di Noether accenni
10.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica lagrangiana accenni
10.4.2 Formulazione lagrangiana e teorema di Noether oltre la meccanica classica.
10.5 *Formulazione generale e globale del Teorema di Noether
10.5.1 Il teorema di Noether nella forma generale
10.5.2 Il vettore di Runge-Lenz dal teorema di Noether
10.5.3 L'integrale primo di Jacobi come conseguenza del teorema di Noether

11 Fondamenti di Meccanica Hamiltoniana.
11.1 Lo spaziotempo delle fasi e le equazioni di Hamilton
11.1.1 Lo spaziotempo delle Fasi F(Vn+1)
11.1.2 Le equazioni di Hamilton. Prop. 11.2 solo enunciato e sono stati svolti solo alcuni esempi
11.1.3 Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale
11.2 Sistemi hamiltoniani su R x R2n
11.2.1 Sistemi hamiltoniani su R x R2n
11.2.2 Il gruppo simplettico ed i sistemi hamiltoniani
11.2.3 Il teorema di Liouville su R x R2n svolto in forma un po' più semplificata a lezione
11.3 *La struttura di varietà fibrata di F(Vn+1) e le equazioni di Hamilton come
equazioni globali
11.3.1 Lo spazio fibrato F(Vn+1)
11.3.2 Trasformazione di Legendre globale come diffeomorfismo da A(Vn+1) a F(Vn+1)
11.3.3 Equazioni di Hamilton assegnate globalmente su F(Vn+1) e campo vettoriale dinamico Z: emancipazione dalla formulazione lagrangian

12 Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Hamiltoniana.
12.1 Trasformazioni canoniche e loro proprietà fondamentali
12.1.1 Trasformazioni canoniche
12.1.2 Preservazione della forma delle equazioni di Hamilton
12.2 *Il teorema di Liouville in forma globale ed il teorema “del ritorno” di Poincaré.
12.2.1 Teorema di Liouville e l’equazione di Liouville
12.2.2 Il teorema “del ritorno” (o “di ricorrenza”) di Poincaré