programma2012

PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO NELLA PARTE DI MECCANICA ANALITICA DEL CORSO FFM
ANNO ACCADEMICO 2019-2020 (MORETTI)

Le parti non richieste all'interno dei singoli capitoli sono indicate in rosso. Eventuali distinzioni sono indicati accanto ai singoli paragrafi oppure alla fine di ogni capitolo con un testo sottolineato. Gli esercizi presenti nei capitoli non sono richiesti.

1 Lo Spazio ed il Tempo della Fisica Classica.
1.1 Lo spazio ed il tempo della classica classica come spazi affini euclidei
1.1.1 Spazi Affini
1.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie
1.1.3 Intepretazione passiva e attiva delle isometrie, il gruppo delle isometrie
1.1.4 Lunghezze d'arco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo delle isometrie
1.1.5 Lo spazio fisico e l'asse del tempo per un osservatore: regoli ed orologi ideali
1.1.6 Orientazione di spazi euclidei e prodotto vettoriale
1.2 Introduzione alla nozione di varietà differenziabile
1.2.1 Funzioni e curve differenziabili su una varietà (accenni, basta sapere lavorare con derivate di curve e funzioni)

Del cap.1 sono importanti le nozioni matematiche che dovrebbero già essere note da altri corsi e pertanto non saranno oggetto *specifico* di discussione in sede d'esame orale.
Tuttavia lo studente è tenuto a conoscere e sapere usare le nozioni matemetiche del cap.1.

2 Lo Spaziotempo della Fisica Classica e la Cinematica Classica
2.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti e linee di universo
2.2 Sistemi di riferimento
2.2.1 *Una definizione alternativa di sistema di riferimento
2.2.2 Sistemi di coordinate solidali
2.3 Cinematica assoluta del punto materiale
2.3.1 Derivazione di curve in spazi affini (solo accennato, contenuto già noto da altri corsi)
2.3.2 Grandezze cinematiche.
2.3.3 Cinematica per punti materiali vincolati a curve e superfici ferme
2.4 Cinematica relativa del punto materiale
2.4.1 Vettore omega e formule di Poisson (esempi 2.3 non svolto il 2)
2.4.2 Velocità ed accelerazione al variare del riferimento

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nel cap.2 sono stati presentati e discussi a lezione. Lo studente non è obbligato a
conoscere gli esempi ed i commenti non discussi a lezione (ma non è nemmeno vietato leggerseli o addirittura studiarseli!).

3 Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali
3.1 Primo principio della dinamica
3.1.1 Sistemi di riferimento inerziali
3.1.2 Trasformazioni di Galileo
3.1.3 Moto relativo di riferimenti inerziali
3.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di punti materiali
3.2.1 Masse, Impulsi e Forze
3.2.2 Sovrapposizione delle forze
3.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo
3.3 Situazioni dinamiche più generali
3.3.1 Moto assegnato per un sottosistema: forze dipendenti dal tempo
3.3.2 Vincoli geometrici: reazioni vincolari
3.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali
3.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica newtoniana (qualche accenno)
3.4.1 Invarianza galileiana della meccanica classica (qualche accenno)
3.4.2 Il fallimento del programma newtoniano
3.4.3 Un commento sul cosiddetto Principio di Mach"

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nel cap.3 sono stati presentati e discussi a lezione. Lo studente non è obbligato a
conoscere gli esempi ed i commenti non discussi a lezione (ma non è nemmeno vietato leggerseli o addirittura studiarseli!).

Gli argomenti base del cap 4 (teorema di esistenza ed unicità locale e globale) sono supposti doti da altri corsi. Non saranno argomento d'esame ma le nozioni devono essere note.

4 Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie
4.1 Sistemi di equazioni differenziali
4.1.1 Riduzione al prim'ordine
4.1.2 Problema di Cauchy
4.1.3 Integrali primi
4.2 Alcune nozioni e risultati preparatori per il teoremi di esistenza e unicità
4.2.1 Lo spazio di Banach C^0(K;K^n)
4.2.2 Teorema del punto fisso in spazi metrici completi
4.2.3 Funzioni lipschitziane
4.3 Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy
4.3.1 Teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy
4.3.2 Condizione per gli integrali primi
4.3.3 Teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy
4.3.4 Equazioni differenziali lineari
4.3.5 Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare
4.3.6 Completezza di soluzioni massimali
4.4 *Confronto tra equazioni differenziali, dipendenza dalle condizioni iniziali e da
parametri
4.4.1 Lemma di Gronwall e sue conseguenze
4.4.2 Regolarità della dipendenza dai dati di Cauchy e questioni connesse
4.5 *Problema di Cauchy su varietà differenziabili
4.5.1 Problema di Cauchy, esistenza ed unicità globali
4.5.2 Completezza delle soluzioni
4.5.3 Gruppi di diffeomorfismi locali ad un parametro
4.5.4 Esistenza di integrali primi funzionalmente indipendenti

5 Leggi di bilancio ed integrali primi in Meccanica
5.1 Equazioni cardinali per i sistemi di punti materiali, conservazione dell'impulso e
del momento angolare
5.1.1 Massa totale, impulso totale, momento angolare totale, energia cinetica
totale
5.1.2 Equazioni cardinali
5.1.3 Leggi di bilancio/conservazione di impulso e momento angolare
5.2 Energia meccanica
5.2.1 Teorema delle forze vive
5.2.2 Forze conservative (solo poche questioni trattate in varie fasi durante il corso, vedere appunti, questa sezione è solo di riferimento generale)
5.2.3 Bilancio e conservazione dell'energia meccanica
5.3 *La necessità della descrizione in termini di continui e di campi in meccanica
classica

7 Introduzione alla teoria della stabilità
7.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio
7.1.1 Equilibrio stabile ed instabile
7.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilità
7.1.3 *Ancora sulla stabilità asintotica
7.1.4 Un criterio per l'instabilità basato sulla procedura di linearizzazione
7.2 Applicazioni a sistemi fisici della meccanica classica
7.2.1 Il teorema di Lagrange-Dirichlet.
7.2.2 Un criterio per l'instabilità
7.2.3 Stabilità delle rotazioni permanenti per corpi rigidi non giroscopici

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nel cap.7 sono stati presentati e discussi a lezione.
Lo studente non è obbligato a conoscere gli esempi ed i commenti non discussi a lezione (ma non è nemmeno vietato leggerseli o addirittura studiarseli!).

8 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana
8.1 Un esempio introduttivo
8.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di Eulero-Lagrange
8.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli olonomi
8.2.2 Grandezze cinematiche ed energia cinetica
8.2.3 Spostamenti virtuali e vincoli ideali
8.2.4 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi di un numero finito di punti
materiali
8.3 *Estensione al caso di sistemi costituiti da corpi rigidi continui e punti materiali.
8.3.1 Sistemi articolati
8.3.2 Calcolo esplicito degli spostamenti virtuali e dell'energia cinetica di corpi
rigidi continui
8.3.3 Generalizzazione dell'identità (8.33) ai corpi rigidi continui
8.3.4 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi articolati
8.4 Proprietà elementari delle equazioni di Eulero Lagrange
8.4.1 Normalità delle equazioni di Eulero-Lagrange
8.4.2 Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di Eulero-Lagrange (svolto solo in parte senza fare i conti, vedere appunti)
8.4.3 Lagrangiane
8.4.4 Cambiamento di riferimento inerziale e non unicità della lagrangiana (svolto solo in parte, vedere appunti)
8.5 *Formulazione geometrico differenziale globale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
8.5.1 La struttura di varietà fibrata di V^(n+1) e di j^1(Vn+1)
8.5.2 Il campo vettoriale dinamico Z

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nel cap.8 sono stati presentati e discussi a lezione.
Lo studente non è obbligato a conoscere gli esempi ed i commenti non discussi a lezione (ma non è nemmeno vietato leggerseli o addirittura studiarseli!).

9 Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Lagrangiana.
9.1 Il cosiddetto Principio di Minima Azione" per sistemi che ammettono lagrangiana (svolto solo in parte, vedere appunti)
9.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni
9.1.2 Il principio di minima azione
9.2 I potenziali generalizzati
9.2.1 Il caso della forza di Lorentz.
9.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale
9.2.3 Condizioni per l'esistenza del potenziale generalizzato
9.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali
9.3 Configurazioni di equilibrio e stabilità
9.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento
9.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet.
9.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle coordinate normali
9.4.1 Equazioni linearizzate e disaccoppiate: coordinate normali
9.4.2 Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione

10 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Noether e di Jacobi.
10.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione: coordinate cicliche
10.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati
10.1.2 Invarianza traslazionale e conservazione dell'impulso
10.1.3 Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare.
10.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Emmy Noether
10.2.1 Trasformazioni su A(Vn+1)
10.2.2 Il teorema di Noether in forma locale elementare
10.2.3 Invarianza dell'integrale primo di Noether per trasformazione di coordinate.
10.2.4 Le trasformazioni di simmetria (debole) di un sistema lagrangiano trasformano
soluzioni delle equazioni di E.-L. in soluzioni delle stesse
10.3 L'integrale primo di Jacobi, invarianza sotto traslazioni temporali" e conservazione
dell'energia meccanica
10.4 Commenti finali sul teorema di Noether
10.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica lagrangiana (accennato)
10.4.2 Formulazione lagrangiana e teorema di Noether oltre la meccanica classica.
10.5 *Formulazione generale e globale del Teorema di Noether
10.5.1 Il teorema di Noether nella forma generale
10.5.2 Il vettore di Runge-Lenz dal teorema di Noether
10.5.3 L'integrale primo di Jacobi come conseguenza del teorema di Noether

Non tutti i commenti e gli esempi presenti nel cap.10 sono stati presentati e discussi a lezione.
Lo studente non è obbligato a conoscere gli esempi ed i commenti non discussi a lezione (ma non è nemmeno vietato leggerseli o addirittura studiarseli!).

11 Fondamenti di Meccanica Hamiltoniana.
11.1 Lo spaziotempo delle fasi e le equazioni di Hamilton
11.1.1 Lo spaziotempo delle Fasi F(Vn+1) (non sono stati svolti gli Esempi 11.1)
11.1.2 Le equazioni di Hamilton (fino a Osservazioni 11.2 escluse)
11.1.3 Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale
11.2 Sistemi hamiltoniani su R^2n.
11.2.1 Sistemi hamiltoniani su R^2n
11.2.2 Il gruppo simplettico ed i sistemi hamiltoniani
11.2.3 Il teorema di Liouville su R^2n (solo enunciato, come accennato a lezione)
11.3 *La struttura di varietà fibrata di F(Vn+1) e le equazioni di Hamilton come
equazioni globali
11.3.1 Lo spazio fibrato F(Vn+1)
11.3.2 Trasformazione di Legendre globale come diffeomorfismo da j1(Vn+1) a
F(Vn+1)
11.3.3 Equazioni di Hamilton assegnate globalmente su F(Vn+1) e campo vettoriale
dinamico Z