Soluzioni di esercizi di cinematica
e
la gittata si può riscrivere:
Il ragazzo si trova in un sistema di riferimento che si muove con velocità
uniforme rispetto ad un sistema inerziale, per cui il suo sistema di riferimento
è pure inerziale. Il sasso lanciato in aria verso l'alto gli ricadrà
quindi esattamente in mano (gittata nulla) ed il tempo di ricaduta sarà
dato dalla nota formula:
Il tempo di volo per la ragazza sarà ovviamente lo stesso perchè
in meccanica galileiana gli intervalli di tempo sono invarianti. La gittata
invece sarà pari alla distanza coperta dal treno durante il tempo di
volo:
L'equazione del moto per la freccia considerata come punto materiale è
quella di un moto uniforme lungo l'asse
ed uniformemente accelerato lungo l'asse
:
dove
è l'angolo di mira rispetto all'orizzontale e
è il modulo incognito della velocità iniziale della freccia.
Possiamo ricavare
dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda ottenendo:
Nell'istante
in cui la freccia colpisce la mela si ha
ed
per cui l'equazione precedente ci permette di ricavare
e conseguentemente
:
L'istante di massima ascesa per la freccia si ricava annullando la velocità
verticale
:
Siccome però questo istante
è successivo all'istante
nel quale la freccia colpisce la mela, la freccia non vi arriva
mai, e la massima ascesa è effettivamente
m. Per risolvere il punto b) bisogna ricavare la traiettoria dalle
equazioni del moto (eliminando il tempo) e considerare l'equazione risultante
come funzione dell'angolo. Ricordando che
e che
é ora
m/s:
Questa è una equazione di secondo grado in
le cui soluzioni sono:
Ovviamente la soluzione da scegliere è quella per cui la tangente è
minore. Si noti che per valori sufficientemente piccoli di
non esistono soluzioni (la freccia non è in grado di arrivare
all'altezza della mela). Infine per risolvere il punto c) scriviamo le equazioni
del moto per la freccia (), analoghe a prima ma translate temporalmente di
s, ed anche per la mela () che ora ha un moto di caduta libera:
Per risolvere poniamo
il che ci permette di ricavare l'istante di impatto:
Sostituendo
nell'ulteriore vincolo
possiamo ricavare
:
nell'equazione precedente i termini quadratici in
si semplificano. Inoltre possiamo riconoscere la velocità
che la mela assume e la posizione
in cui la mela si trova dopo il tempo
:
ricavare il
richiesto da quest'ultima è immediato, ricordando che ora
:
infine verifichiamo che l'altezza alla quale avviene il contatto è maggiore
di zero (ovvero che effettivamente la mela viene colpita prima di toccare
terra):
Esercizio 7
Conveniamo che la velocità dell'uomo rispetto a terra sia
con
m/s (ovvero che il moto dell'uomo definisca il verso in cui cresce
) e che
sia diretto verso l'alto. Allora nel caso a) la pioggia cade
con velocità
nel riferimento solidale con il terreno e con velocità
nel riferimento solidale con l'uomo. In
quest'ultimo riferimento il modulo e l'inclinazione rispetto alla verticale
risultano:
Nel caso b) la pioggia ha una componente della velocità nel verso contrario
al moto dell'uomo lungo l'asse
nel riferimento solidale con il terreno. Se in questo riferimento
l'inclinazione rispetto alla verticale è
allora la velocità della pioggia si scrive
. Nel riferimento solidale con l'uomo:
Ripetendo i calcoli di prima otteniamo allora:
Esercizio 8
Nella prima fase il moto angolare è uniformemente accelerato con accelerazione
rad/s e partenza da fermo, per cui dopo il tempo
s la velocità angolare e l'angolo coperto sono rispettivamente:
Nella seconda fase la velocità angolare rimane costante per un tempo
s, per cui l'angolo coperto è semplicemente:
Nell'ultima fase si ha un decelerazione costante
che porta all'annullamento della velocità angolare nel
tempo
s. Per calcolare l'entità di questa decelerazione imponiamo:
a questo punto possiamo ottenere l'angolo coperto durante l'ultima fase:
Il numero di giri completi complessivamente coperti è dunque:
e la velocità angolare media:
Esercizio 9
Il riferimento del treno, in cui il bambino si trova, è accelerato, per
cui bisogna introdurre nelle equazioni del moto una accelerazione apparente
pari a
. Se la accelerazione del treno rispetto al terreno è
allora l'accelerazione totale a cui è sottoposta la
palla lanciata dal bambino è
. Fintantochè utilizziamo questo riferimento
del vagone, il fatto che il treno sia in moto da un certo tempo è irrilevante,
l'unica cosa che ci importa è che l'accelerazione sia costante; la velocità
iniziale e quindi l'origine dei tempi sono infatti arbitrarie per il principio
di relatività.
Affinchè la palla ritorni fra le mani del bambino, questi deve lanciarla
lungo la direzione dell'accelerazione totale nel suo riferimento, quindi con
un angolo:
In questo caso particolare possiamo considerare un moto unidimensionale lungo
la direzione della accelerazione, uniformemente decelerato dalla decelerazione
totale
. Il tempo di volo
si determina imponendo che la velocità ritorni in modulo uguale
e in verso opposto a quella iniziale (per la simmetria rispetto al tempo delle
leggi del moto).
Per un osservatore fisso esterno al treno la gittata della palla sarà
uguale allo spostamento della mano del bambino durante il tempo di volo
. Siccome abbiamo cambiato riferimento, dobbiamo ricordare che il
vagone del treno stava già accelerando uniformemente con accelerazione
a partire da fermo da
s:
Consideriamo ora il caso in cui l'accelerazione del treno cessa nell'istante
di massima ascesa della palla che chiamaremo
. Le equazioni del moto in questa prima fase sono:
L'istante di massima ascesa è determinato dalla condizione
. Quindi abbiamo:
Si noti che nell'istante
nel riferimento del vagone si annulla anche la velocità orizzontale,
perchè la palla ``comincia a tornare indietro''. E facile verificarlo
sostituendo la relazione trovata per
ed il valore dell'angolo precedentemente determinato tale che
. Per tempi maggiori di
l'accelerazione del treno cessa, quindi il riferimento del vagone
ritorna ad essere inerziale, e la palla che ha in quell'istante una componente
orizzontale della velocità nulla permane nel suo stato di quiete ``orizzontale''
ovvero
e questo valore si ricava dalla prima delle leggi
del moto:
Siccome il valore ricavato per è positivo ed il bambino guarda nella direzione del moto del treno (), la palla cade in avanti. Infine, per un osservatore fisso rispetto al terreno, nulla importa che la legge del moto del treno cambi ad un istante successivo a quello in cui è stata lanciata la palla, per cui la gittata rimane la stessa di prima.