FILE SORGENTE - Novembre 2001 la risposta esatta è sempre la n.1

• Domanda 1 Sia A una matrice quadrata; quale delle seguenti affermazioni è corretta:

1) il determinante di A è nullo se due colonne sono uguali

2) il determinante di A non cambia se si scambiano tra loro la prima riga e la seconda

3) il determinante di A non cambia se si moltiplica una riga per uno scalare diverso da 1

• Domanda 2 Siano v_{1}, v_{2}, v_{3} una base per uno spazio vettoriale V di dimensione 3. Allora:

1) v_{1} − v_{2}, v_{2} − v_{3}, v_{3} + v_{1} sono una base per V 2) v_{1} − v_{2}, v_{2} − v_{1}, v_{3} + v_{1} sono una base per V 3) v_{1} − v_{3}, v_{2} − v_{1}, v_{3} − v_{1} sono una base per V • Domanda 3 In ℝ^{3} siano

v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (1, 0, 1),
v_{3} = (1, 1, 1), v_{4} = (0, 1, 0)

e siano S il sottospazio generato da v_{1}, v_{2} e T il sottospazio generato da v_{3}, v_{4}. Allora:

1) dim(S ∩ T) = 1 e dim(S + T) = 3

2) dim(S ∩ T) = 2 e dim(S + T) = 2

3) dim(S ∩ T) = 0 e dim(S + T) = 4

• Domanda 4 Date le matrici

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})

1) det(A^{.}B) = −2

2) det(A^{.}B) = 0

3) det(A^{.}B) = 2

• Domanda 5 Il sistema lineare

\begin{cases}2x + y + z = 1 \\ x − y + 3z = 2 \\ 4x − y + 7z = 6 \end{cases}

1) non ammette mai soluzione

2) ammette sempre una ed una sola soluzione 3) ammette infinite soluzioni

• Domanda 6 La matrice

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & k \\ 3 & k & 0 \end{matrix}) ,

con k parametro reale

1) è diagonalizzabile per ogni k

2) è diagonalizzabile solo se k = 0

3) non è mai diagonalizzabile

• Domanda 7 Sia A la matrice

(\begin{matrix}0 & a & 0 \\ b & c & d \\ 0 & e & 0 \end{matrix}) : a, b, c, d, e ∈ ℝ

È vero che:

1) A non è invertibile

2) A è invertibile

3) A è invertibile se e solo se c ≠ 0

• Domanda 8 Siano U = Span{(1, 1, 0), (2, 1, 3)} e W = Span{(2, 3, 0), (−4, −6, 0)}. Allora:

1) ℝ^{3} = U ⊕ W

2) dim(U + W) = 4

3) U < W

• Domanda 9 Sia F : ℝ^{4} → ℝ^{4} l’applicazione lineare definita da

F (x, y, z, w) = (2x − y, y, y − z, x).

Il vettore (0, 1, 0, 0)

1) non appartiene né a ker(F) né a Im(F)

2) appartiene a Im(F)

3) appartiene a ker(F)

• Domanda 10 Siano date due matrici invertibili A e B. Allora:

1) AB è invertibile

2) A + B è invertibile

3) det(A + B) ≠ 0

• Domanda 11 Siano A una matrice quadrata ed S una sua ridotta a scala. È vero che:

1) A ed S hanno lo stesso rango

2) A ed S hanno gli stessi autovalori

3) det(A) = det(S)

• Domanda 12 Siano v_{1} = (3, 1, 0) e v_{2} = (t, t, 0) due vettori di R^{3}. Posto V_{t} = Span(v_{1}, v_{2}) si ha che:

1) dim V_{t} = 2 tranne che per un valore di t ∈ ℝ 2) dim V_{t} = 2 per tutti i valori di t ∈ ℝ

3) dim V_{t} ≤ 1 per ogni t ∈ ℝ