1. Sia f_{k} : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{4} l’applicazione lineare definita da

f_{k} ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y + kz \\ x + z \\ x + y + k^{3}z \\ x + y + z \end{matrix} )

Al variare del parametro k, determinare il nucleo di f e stabilire se il vettore (1, 0, 3, 0) appartiene all’immagine di f.

2. Sia f l’applicazione lineare associata alla matrice

A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Determinare autovalori e autovettori di f e stabilire se A è diagonalizzabile.

3. Dare la definizione di rango di una matrice ed enunciare i teoremi di Cramer e Rouché-Capelli.