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  Indice
Esercizio 43
Determinare quali delle seguenti applicazioni sono lineari:
Dimostrazione.
Si tratta di verificare se, per ogni scelta di
![$ (x,y)$](img499.gif)
,
![$ (z,w)$](img500.gif)
in
![$ R^2$](img501.gif)
e
![$ \lambda$](img304.gif)
,
![$ \mu$](img502.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
,
risulta
Ora
Ne segue che
![$ f_1$](img508.gif)
è lineare.
In modo analogo si verifica che
è lineare. Infatti per ogni
e
in
, per
ogni
e
in
si ha:
L'applicazione
![$ f_3$](img515.gif)
non è lineare, per esempio perchè
Anche l'applicazione
![$ f_4$](img517.gif)
non è lineare perchè se lo fosse dovrebbe mandare il vettore nullo in
sè, mentre
L'applicazione
![$ f_5$](img519.gif)
è un endomorfismo di
![$ R^3$](img252.gif)
infatti
per ogni
![$ v, w$](img521.gif)
in
![$ R^3$](img252.gif)
e per ogni
![$ \lambda, \mu$](img522.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
.
Infine l'applicazione
non è lineare perchè
Esercizio 44
Sono dati i vettori di
![$ R^3$](img252.gif)
:
Provare che esiste un unico endomorfismo
![$ f: R^3 \rightarrow R^3$](img526.gif)
tale che
Determinare una base di
![$ \imm(f)$](img528.gif)
e
![$ \kker(f)$](img529.gif)
e
![$ f(0,0,1)$](img530.gif)
.
Dimostrazione.
Una applicazione lineare è univocamente determinata quando si conoscono le immagini degli elementi di
una base del dominio.
Nel nostro caso i vettori
,
e
formano una base di
perchè
Sia
![$ f$](img532.gif)
l'endomorfismo di
![$ R^3$](img252.gif)
definito da
L'applicazione
![$ f$](img532.gif)
è completamente determinata perchè per ogni
![$ v \in R^3$](img536.gif)
sarà
![$ v=~a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3$](img537.gif)
per certi
![$ a_1, a_2, a_3$](img538.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
.
Allora
Inoltre
![$ f$](img532.gif)
è univocamente determinata perchè se
![$ g$](img540.gif)
è un altro endomorfismo di
![$ R^3$](img252.gif)
tale che
allora per ogni
![$ v=~a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3$](img537.gif)
in
![$ R^3$](img252.gif)
riesce
sicchè
![$ f \equiv g$](img545.gif)
.
Un sistema di generatori per l'immagine di
è l'insieme
. È immediato verificare che
e
sono multipli di
,
pertanto una base di
è
.
Il nucleo di
è il sottospazio di
:
Per determinarne una base osserviamo innanzitutto che
![$ v_3 \in \kker(f)$](img552.gif)
. Inoltre
così anche il vettore
![$ 2v_1-v_2=(1,2,-1)$](img554.gif)
appartiene a
![$ \kker(f)$](img529.gif)
. Siccome i vettori
![$ 2v_1-v_2$](img555.gif)
e
![$ v_3$](img358.gif)
sono linearmente indipendenti, formano una base del nucleo. Notiamo che
![$ \kker(f)$](img529.gif)
non può avere
dimensione
![$ 3$](img112.gif)
perchè altrimenti
![$ f$](img532.gif)
sarebbe identicamente nulla.
Infine per determinare l'immagine di
tramite
dobbiamo scrivere
in termini della base
.
Risulta
così
Esercizio 45
Sia
![$ F: R^3 \rightarrow R^3$](img559.gif)
l'applicazione lineare definita da
Si determinino i sottospazi
![$ \kker(F)$](img561.gif)
e
![$ \imm(F)$](img562.gif)
, se ne calcoli una base e
si verifichi il teorema della nullità più rango, al
variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Dimostrazione.
Determiniamo la matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
rispetto alla base canonica di
![$ R^3$](img252.gif)
.
Si ha
dunque la matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
è la matrice
La dimensione di
![$ \imm(F)$](img562.gif)
è uguale al rango di
![$ A$](img5.gif)
e dunque
Per
![$ k \neq 0,2$](img125.gif)
una base di
![$ \imm(F)$](img562.gif)
è
mentre il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
è costituito dal solo vettore nullo.
Per
la matrice
diventa
Una base per l'immagine di
![$ F$](img94.gif)
è costituita da due vettori colonna di
![$ A$](img5.gif)
linearmente
indipendenti, per esempio
Il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
è costituito dai vettori
![$ (x,y,z)$](img279.gif)
in
![$ R^3$](img252.gif)
tali che:
Risolvendo il sistema si trova:
pertanto il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
ha dimensione
![$ 1$](img118.gif)
e una sua base è:
Risulta verificato il teorema di nullità più rango perchè:
Per
![$ k=2$](img121.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
diventa
Di nuovo una base per l'immagine di
![$ F$](img94.gif)
è costituita da due vettori colonna di
![$ A$](img5.gif)
linearmente
indipendenti, per esempio
Risolvendo il sistema
si trova:
Ne segue che il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
ha dimensione
![$ 1$](img118.gif)
, sicchè risulta verificato il teorema di nullità
più rango. Una base per
![$ \kker(F)$](img561.gif)
è:
Esercizio 46
Sia
![$ F: R^4 \rightarrow R^3$](img580.gif)
l'applicazione lineare definita da
Si determinino i sottospazi
![$ \kker(F)$](img561.gif)
,
![$ \imm(F)$](img562.gif)
, se ne calcoli una base e
si verifichi il teorema della nullità più rango, al
variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Dimostrazione.
Scriviamo la matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
rispetto alle basi canoniche di
![$ R^4$](img354.gif)
e
![$ R^3$](img252.gif)
. Si ha:
La matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
è allora la matrice
Per determinare il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
risolviamo il sistema:
Una possibile riduzione dalla matrice dei coefficienti è la seguente:
Ne segue che per
![$ k \neq \pm 2$](img590.gif)
il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
è il sottospazio :
Una base per
![$ \kker(F)$](img561.gif)
è
e la dimensione del nucleo è pari a
![$ 1$](img118.gif)
.
Per
troviamo
sicchè
![$ \kker(F)$](img561.gif)
ha dimensione
![$ 2$](img108.gif)
. Una sua base si ottiene scegliendo la coppia
![$ (t,s)$](img594.gif)
uguale a
![$ (1,0)$](img595.gif)
e
![$ (0,1)$](img596.gif)
:
Infine per
![$ k=-2$](img190.gif)
il nucleo di
![$ F$](img94.gif)
ha dimensione
![$ 1$](img118.gif)
ed è costituito dai vettori:
Una sua base è costituita dal vettore
Determiniamo ora l'immagine di
![$ F$](img94.gif)
.
Per
la matrice
ha rango
, inoltre i primi tre vettori colonna di
sono
indipendenti. Una base di
è l'insieme
e
Per
![$ k=-2$](img190.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
ha ancora rango
![$ 3$](img112.gif)
. sono indipendenti il secondo, il terzo e il quarto vettore
colonna di
![$ A$](img5.gif)
sicchè una base di
![$ \imm(F)$](img562.gif)
è l'insieme:
e
Infine per
![$ k=2$](img121.gif)
il rango di
![$ A$](img5.gif)
è uguale a
![$ 2$](img108.gif)
sicchè
![$ \dimm(\imm(F))=2$](img604.gif)
.
Una base è:
e
In ultimo verifichiamo il teorema di nullità più rango.
Per
abbiamo trovato
mentre per
![$ k=2$](img121.gif)
abbiamo
Esercizio 47
Sia
![$ F:R^3 \rightarrow R^2$](img609.gif)
l'applicazione lineare definita da
- Trovare i valori di
per cui
non è suriettiva.
- Per ogni valore di
trovare una base di
e calcolare
la dimensione di
.
Dimostrazione.
Scriviamo la matrice di
![$ F$](img94.gif)
rispetto alle basi canoniche di
![$ R^3$](img252.gif)
e
![$ R^2$](img501.gif)
.
Risulta:
sicchè la matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
è la matrice
Poichè
segue che
L'applicazione
![$ F$](img94.gif)
non è suriettiva per
![$ k=1$](img116.gif)
.
Un sistema di generatori per l'immagine di
è l'insieme
Per
![$ k \neq 1$](img618.gif)
la dimensione di
![$ \imm(F)$](img562.gif)
è
![$ 2$](img108.gif)
e abbiamo visto che i vettori
![$ (1,1)$](img619.gif)
e
![$ (0,1-k)$](img620.gif)
sono
linearemente indipendenti sicchè una base di
![$ \imm(F)$](img562.gif)
è
Per
![$ k=1$](img116.gif)
invece l'immagine di
![$ F$](img94.gif)
è un sottospazio di dimensione
![$ 1$](img118.gif)
e una base è
Infine, utilizzando il teorema di nullità più rango, calcoliamo la dimensione del nucleo di
![$ F$](img94.gif)
.
Risulta
ovvero
Esercizio 48
Trovare per quali valori del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
l'applicazione lineare
![$ F: R^3 \rightarrow R^3$](img559.gif)
, definita da
ammette inversa e calcolare esplicitamente l'inversa per uno di tali valori.
Dimostrazione.
Determiniamo l'azione di
![$ F$](img94.gif)
rispetto alla base canonica di
![$ R^3$](img252.gif)
.
Risulta
La matrice associata a
![$ F$](img94.gif)
rispetto alla base canonica è la matrice
Ora
![$ \dete(A)=k^2-4k-4$](img630.gif)
sicchè il rango di
![$ A$](img5.gif)
è
![$ 3$](img112.gif)
per
![$ k$](img103.gif)
diverso da
![$ 2 \pm2 \sqrt{2}$](img631.gif)
. D'altra
parte
![$ F$](img94.gif)
è invertibile se e solo se è iniettiva e suriettiva ovvero se e solo se
![$ \imm(F)=R^3$](img632.gif)
.
Ne segue che
![$ F$](img94.gif)
è invertibile per
![$ k \neq 2 \pm2 \sqrt{2}$](img633.gif)
.
La matrice associata all'applicazione inversa
rispetto
alla base canonica
è la matrice
L'applicazione
![$ F^{-1}$](img636.gif)
è così definita da
Esercizio 49
Sia
![$ f: R^3 \rightarrow R^3$](img526.gif)
definita da:
Provare che
![$ f$](img532.gif)
non è lineare. Sia
![$ V$](img285.gif)
il sottospazio di
![$ R^3$](img252.gif)
costituito dalle terne
![$ (x,x,z)$](img641.gif)
al variare di
![$ x$](img175.gif)
e
![$ z$](img166.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
. Provare che la restrizione di
![$ f$](img532.gif)
a
![$ V$](img285.gif)
è
lineare e determinarne immagine e nucleo.
Dimostrazione.
Per provare che
![$ f$](img532.gif)
non è lineare basta trovare
![$ v_1$](img340.gif)
e
![$ v_2$](img341.gif)
in
![$ R^3$](img252.gif)
tali che
Per esempio se
![$ v_1=(1,2,0)$](img643.gif)
e
![$ v_2=(0,1,2)$](img644.gif)
risulta
Proviamo invece che la restrizione
![$ f_{V}$](img646.gif)
di
![$ f$](img532.gif)
a
![$ V$](img285.gif)
è lineare. Per ogni
![$ (x,x,z), (y,y,w)$](img647.gif)
in
![$ V$](img285.gif)
e per ogni
![$ \lambda, \mu$](img522.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
risulta
Il sottospazio
![$ V$](img285.gif)
ha dimensione
![$ 2$](img108.gif)
perchè ogni suo elemento è combinazione lineare dei vettori
![$ v_1=(1,1,0)$](img652.gif)
e
![$ v_2=(0,0,1)$](img653.gif)
:
e i vettori
![$ v_1$](img340.gif)
e
![$ v_2$](img341.gif)
sono linearmente indipendenti.
L'immagine di
è così generata dai vettori
Segue che
Dal teorema di nullità più rango abbiamo:
sicchè
Esercizio 50
Sia
![$ h: R^3 \rightarrow R^3$](img659.gif)
un endomorfismo tale che
![$ h(1,1,0)=(0,0,1)$](img660.gif)
,
![$ h(1,0,2)=(0,q,1)$](img661.gif)
e
![$ h(-1,0,0)=(2,1,1)$](img662.gif)
, con
![$ q \in R$](img663.gif)
. Calcolare
![$ h(1,0,0)$](img664.gif)
. Determinare
i valori di
![$ q$](img353.gif)
per i quali
![$ h$](img665.gif)
è invertibile. Per quali valori di
![$ q$](img353.gif)
risulta
![$ h^{-1}(2,1,3) \neq \emptyset$](img666.gif)
?
Dimostrazione.
Innanzitutto verifichiamo che
![$ h$](img665.gif)
è univocamente definita. Si tratta di verificare che i vettori
![$ v_1=(1,1,0)$](img652.gif)
,
![$ v_2=(1,0,2)$](img667.gif)
e
![$ v_3=(-1,0,0)$](img668.gif)
formano una base di
![$ R^3$](img252.gif)
.
Risulta
sicchè
![$ \mathcal{B}=\{ v_1,v_2,v_3\}$](img410.gif)
è una base di
![$ R^3$](img252.gif)
.
Per la linearità di
abbiamo
Scriviamo la matrice,
![$ A$](img5.gif)
, associata ad
![$ h$](img665.gif)
rispetto alla base
![$ \mathcal{B}$](img331.gif)
nel dominio e alla base
canonica nel codominio.
Risulta:
I valori del parametro
![$ q$](img353.gif)
per i quali l'endomorfismo è invertibile sono tutti e soli i valori del
parametro
![$ q$](img353.gif)
per i quali è
![$ \imm(h)=R^3$](img672.gif)
.
Poichè
, l'applicazione
è invertibile se e solo se
.
Infine
è sicuramente non vuota se
è suriettiva (anzi siccome
è un
endomorfismo in questo caso contiene esattamente un vettore del dominio), cioè per
.
Per
, abbiamo
Il vettore
![$ (2,1,3)$](img307.gif)
appartiene a l'immagine di
![$ h$](img665.gif)
, ovvero
![$ h^{-1}(2,1,3) \neq \emptyset$](img666.gif)
, se e solo se
esistono
![$ \alpha$](img288.gif)
e
![$ \beta$](img289.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
tali che
L'uguaglianza vettoriale appena scritta è soddisfatta per
![$ \alpha=2$](img677.gif)
e
![$ \beta=1$](img678.gif)
.
In conclusione
per ogni valore del parametro
.
Esercizio 51
Sia
![$ f: R^4 \rightarrow R^4$](img679.gif)
l'applicazione lineare definita da:
Determinare la dimensione dell'immagine di
![$ f$](img532.gif)
al variare del parametro reale
![$ \alpha$](img288.gif)
.
Dimostrazione.
La matrice associata a
![$ f$](img532.gif)
rispetto alle basi canoniche in
![$ R^4$](img354.gif)
è la matrice
Per determinare la dimensione dell'immagine di
![$ f$](img532.gif)
determiniamo il rango di
![$ A$](img5.gif)
.
Una possibile riduzione a gradino della matrice
è la seguente:
Segue allora che
Esercizio 52
Sia
![$ g: R^3 \rightarrow R^3$](img685.gif)
l'applicazione di matrice, rispetto alle basi canoniche:
Verificare che è un isomorfismo. Calcolare
![$ g^{-1}$](img687.gif)
.
Dimostrazione.
Per verificare che l'applicazione
![$ g$](img540.gif)
sia un isomorfismo bisogna provare che è suriettiva e iniettiva.
D'altra parte
![$ g$](img540.gif)
è un endomorfismo dunque basta provarne la suriettività.
Risulta
sicchè
![$ \imm (g)= R^3$](img689.gif)
.
La matrice associata a
rispetto alle basi canoniche è la matrice
Esercizio 53
Data la matrice
determinare una matrice
![$ B$](img7.gif)
tale che il prodotto
![$ BA$](img14.gif)
sia la matrice nulla.
Dimostrazione.
Innanzitutto osserviamo che una matrice
![$ B$](img7.gif)
non nulla tale che
![$ BA$](img14.gif)
sia la matrice nulla esiste perchè
![$ \dete(A)=0$](img692.gif)
.
Guardiamo
come la matrice di un endomorfismo
rispetto alle basi canoniche.
Determiniamo l'immagine e il nucleo di
.
Ne segue che
L'immagine di
![$ f$](img532.gif)
è generata dai vettori
![$ (1,1,0)$](img323.gif)
,
![$ (0,1,-1)$](img697.gif)
e
![$ (1,0,1)$](img303.gif)
.
Il primo e il terzo sono
linearmente indipendenti e formano una base per
![$ \imm(f)$](img528.gif)
:
Abbiamo ottenuto una base di
Definiamo un endomorfismo
![$ g$](img540.gif)
di
![$ R^3$](img252.gif)
in modo che
Rispetto alla base
![$ \mathcal{B}$](img331.gif)
definiamo
dove
![$ v$](img430.gif)
è un qualsiasi vettore di
![$ R^3$](img252.gif)
. Scriviamo allora
![$ v=(3a, 3b, 3c)$](img702.gif)
per certi
![$ a$](img266.gif)
,
![$ b$](img267.gif)
e
![$ c$](img273.gif)
in
![$ R$](img268.gif)
.
Determiniamo ora la matrice,
, dell'endomorfismo
rispetto alla base canonica.
Risulta:
dunque
La matrice
![$ B$](img7.gif)
è la matrice
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Andreatta Marco
2000-09-18