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Esercizio 15
Determinare le soluzioni del seguente sistema omogeneo:
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è:
Riduciamo la matrice a gradino. Una possibile riduzione per righe è
Il sistema associato all'ultima matrice è:
che anmmette l'unica soluzione:
In modo alternativo si può precedere come segue. La matrice dei coefficienti
associata al sistema è la matrice:
Il determinante di
![$ A$](img5.gif)
è uguale a :
Ne segue che la matrice
![$ A$](img5.gif)
ha rango
![$ 3$](img112.gif)
così come la matrice completa associata al
sistema. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha una unica soluzione. D'altra
parte ogni sistema omogeneo ha almeno la soluzione banale, pertanto la soluzione è:
Esercizio 16
Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzioone a gradino è:
Il rango della matrice incompleta è
![$ 2$](img108.gif)
mentre il rango della matrice completa è
![$ 3$](img112.gif)
.
Il sistema non ha soluzioni.
D'altra parte, nel sistema associato all'ultima matrice, l'ultima riga corrisponde
all'equazione
manifestamente falsa.
Esercizio 17
Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è:
Una possibile riduzione a gradino è :
Il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa e pari a
![$ 2$](img108.gif)
. Dal teorema di Rouchè-Capelli segue che il sistema ammette infinite soluzioni.
Per determinare le soluzioni scriviamo il sistema associato alla matrice ridotta:
Risolvendo in funzione della variabile
![$ z$](img166.gif)
, si ottiene:
Posto
![$ z=t$](img168.gif)
, con
![$ t \in R$](img169.gif)
, le soluzioni si riscrivono:
Esercizio 18
Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:
Per ridurre la matrice a gradino scambiamo la prima e la seconda colonna, ottenendo
così la matrice:
Notiamo che l'aver scambiato le prime due colonne colonne della matrice implica che
l'ordine scelto per le variabili, nello scrivere il sistema associato, diventa
![$ y$](img174.gif)
,
![$ x$](img175.gif)
,
![$ z$](img166.gif)
.
Una possibile riduzione per righe è:
Il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta e uguale a
![$ 3$](img112.gif)
. Il sistema allora ammette una unica soluzione.
Per determinare la soluzione scriviamo, ricordando che abbiamo scambiato le prime due
colonne, il sistema associato alla matrice ridotta:
La soluzione è:
Esercizio 19
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è:
Una possibile riduzione per righe è:
Notiamo che la riduzione fatta ha senso per ogni valore del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
. Infatti
nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito la seconda riga con
![$ k$](img103.gif)
volte la prima riga meno
la seconda riga. Se
![$ k=0$](img183.gif)
quello che abbiamo fatto è sostituire la seconda riga con un
suo multiplo non nullo.
Stesso discorso vale per la terza riga, infatti questa è stata sostituita con
![$ k-1$](img184.gif)
volte la prima riga meno la terza.
Se
![$ k=1$](img116.gif)
di nuovo abbiamo sostituito la terza riga con un suo multiplo non nullo.
Ultimiamo ora la riduzione:
Per
![$ k \neq -1,-2$](img186.gif)
la matrice incompleta e la matrice completa hanno entrambe rango
![$ 2$](img108.gif)
pertanto il sistema ammette una sola soluzione.
La soluzione è:
Se
![$ k=-1$](img113.gif)
la matrice ridotta diventa:
La matrice completa e incompleta hanno entrambe rango
![$ 1$](img118.gif)
pertanto il sistema ammette
infinite soluzioni:
Infine per
![$ k=-2$](img190.gif)
la matrice ridotta diventa:
e il sistema non ha soluzioni.
Esercizio 20
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice dei coefficienti del sistema è:
Calcoliamo il determinante di
![$ A$](img5.gif)
:
Per
![$ k \neq -3,-1,0$](img195.gif)
la matrice
![$ A$](img5.gif)
ha rango
![$ 3$](img112.gif)
e dunque il sistema ammette solo la
soluzione banale:
Se
![$ k=0$](img183.gif)
la matrice dei coefficienti diventa:
che si vede facilmente avere rango
![$ 2$](img108.gif)
. Un minore di ordine due non nullo è, per
esempio, il
minore
Ne segue che il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni si determinano
risolvendo il sistema
da cui:
Per
![$ k=-1$](img113.gif)
la matrice dei coefficienti del sistema è :
Di nuovo la matrice ha rango
![$ 2$](img108.gif)
e il sistema ammette infinite soluzioni:
Infine se
![$ k=-3$](img203.gif)
la matrice dei coefficienti diventa:
Le soluzioni sono:
Esercizio 21
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro
reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice dei coefficienti del sistema è:
Il suo determinante risulta essere
sicchè per
![$ k \neq \pm 1$](img111.gif)
si ha una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione, che si può determinare per esempio con il metodo di Cramer, è
Per
![$ k=1$](img116.gif)
la matrice completa associata al sistema diventa:
che si può ridurre come segue:
Si hanno infinite soluzioni del sistema :
Infine per
![$ k=-1$](img113.gif)
la matrice completa associata al sistema diventa:
Una possibile riduzione è:
Segue che il sistema non ammette in questo caso alcuna soluzione.
Esercizio 22
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione per righe è la seguente:
Per
![$ k \neq 2,3$](img219.gif)
la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango
![$ 3$](img112.gif)
e il
sistema ammette una unica soluzione.
La soluzione è :
Per
![$ k=2$](img121.gif)
la matrice ridotta diventa:
da cui si deduce facilmente che il sistema non ha soluzioni per
![$ k=2$](img121.gif)
.
Per
invece la matrice ridotta si riscrive:
In questo caso la matrice completa e incompleta hanno entrambe rango
![$ 2$](img108.gif)
. Il sistema
ammette le infinite soluzioni seguenti:
Esercizio 23
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice dei coefficienti del sistema è:
il cui determinante è pari a:
Per
![$ k \neq 1,-2$](img228.gif)
il sistema ammette una e una sola soluzione . Determiniamo la soluzione utilizzando
la regola di Cramer.
Risulta:
Per
![$ k=1$](img116.gif)
la matrice completa del sistema è
Si vede facilmente che la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango
![$ 1$](img118.gif)
.
Il sistema ammette infinite soluzioni che sono le soluzioni dell'equazione
Risulta allora:
Se
![$ k=-2$](img190.gif)
la matrice completa del sistema diventa:
Riduciamo la matrice a gradino:
Segue che, per
![$ k=-2$](img190.gif)
, il sistema non ammette alcuna soluzione.
Esercizio 24
Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
.
Determinare, ove esistano, le soluzioni.
Dimostrazione.
La matrice completa associata al sistema è la matrice:
Una possibile riduzione è la seguente:
Ora scambiamo la seconda e la terza colonna cambiando così l'ordine delle variabili in
![$ x$](img175.gif)
,
![$ z$](img166.gif)
e
![$ y$](img174.gif)
.
Otteniamo:
Per
![$ k \neq \frac{3}{4}$](img245.gif)
il sistema ammette una sola soluzione:
Per
![$ k= \frac{3}{4}$](img247.gif)
, invece, non esistono soluzioni.
Esercizio 25
Determinare i valori del parametro reale
![$ k$](img103.gif)
tali che il sistema
abbia, rispettivamente, una unica soluzione, nessuna soluzione o
più di una soluzione.
Dimostrazione.
Il determinante della matrice dei coefficienti è pari a
![$ k-3$](img249.gif)
, sicchè per
![$ k \neq 3$](img250.gif)
il sistema
ammette una unica soluzione. Se
![$ k=3$](img222.gif)
la matrice completa associata al sistema è la matrice:
Si vede facilmente che la prima riga è uguale alla seconda riga meno la terza e, d'altra parte la
seconda e la terza riga non sono tra loro proporzionali. Ne segue che, per
![$ k=3$](img222.gif)
, il sistema ammette
infinite soluzioni.
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Andreatta Marco
2000-09-18