Sistemi lineari

Esercizio 15   Determinare le soluzioni del seguente sistema omogeneo:

$$\begin{cases}x +y+z = 0 \\ 2x -3y +z= 0 \\ x -4y+2z = 0 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&1&0\\ 2&-3&1&0\\ 1&-4&2&0 \end{matrix}\right).$$

Riduciamo la matrice a gradino. Una possibile riduzione per righe è

$$\left( \begin{matrix}1&1&1&0\\ 2&-3&1&0\\ 1&-4&2&0 \end{matrix} \... ...adsto \left( \begin{matrix}1&1&1&0\\ 0&-5&-1&0\\ 0&0&-2&0 \end{matrix} \right).$$

Il sistema associato all'ultima matrice è:

$$\begin{cases} x+y+z=0\\ 5y+z=0\\ 2z=0 \end{cases}$$

che anmmette l'unica soluzione:

$$\begin{cases} x=0\\ y=0\\ z=0. \end{cases}$$

In modo alternativo si può precedere come segue. La matrice dei coefficienti associata al sistema è la matrice:

$$A=\left ( \begin{matrix} 1&1&1\\ 2&-3&1\\ 1&-4&2 \end{matrix}\right ).$$

Il determinante di $A$ è uguale a :

$$\dete(A)=-12.$$

Ne segue che la matrice $A$ ha rango $3$ così come la matrice completa associata al sistema. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha una unica soluzione. D'altra parte ogni sistema omogeneo ha almeno la soluzione banale, pertanto la soluzione è:

$$\begin{cases} x=0\\ y=0\\ z=0. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 16   Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:

$$\begin{cases}2x +y-2z+3w = 1 \\ 3x +2y -z+ 2w= 4 \\ 3x +3y+3z-3w = 5 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 2&1&-2&3&1\\ 3&2&-1&2&4\\ 3&3&3&-3&5 \end{matrix}\right).$$

Una possibile riduzioone a gradino è:

$$\left( \begin{matrix}2&1&-2&3&1\\ 3&2&-1&2&4\\ 3&3&3&-3&5 \end{ma... ... \left( \begin{matrix}2&1&-2&3&1\\ 0&1&4&-5&5\\ 0&0&0&0&-8 \end{matrix} \right)$$

Il rango della matrice incompleta è $2$ mentre il rango della matrice completa è $3$. Il sistema non ha soluzioni. D'altra parte, nel sistema associato all'ultima matrice, l'ultima riga corrisponde all'equazione

$$0=8$$

manifestamente falsa. $\qedsymbol$

Esercizio 17   Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:

$$\begin{cases}x +2y+3z = 3 \\ 2x +3y +8z = 4 \\ 3x +2y+17z = 1 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 1&2&3&3\\ 2&3&8&4\\ 3&2&17&1 \end{matrix}\right).$$

Una possibile riduzione a gradino è :

$$\left( \begin{matrix}1&2&3&3\\ 2&3&8&4\\ 3&2&17&1 \end{matrix} \r... ...leadsto \left( \begin{matrix}1&2&3&3\\ 0&-1&2&-2\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$$

Il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa e pari a $2$. Dal teorema di Rouchè-Capelli segue che il sistema ammette infinite soluzioni.

Per determinare le soluzioni scriviamo il sistema associato alla matrice ridotta:

$$\begin{cases} x+2y+3z=3\\ -y+2z=-2. \end{cases}$$

Risolvendo in funzione della variabile $z$, si ottiene:

$$\begin{cases} x=-1-7z\\ y=2+2z. \end{cases}$$

Posto $z=t$, con $t \in R$, le soluzioni si riscrivono:

$$\begin{cases} x=-1-7t\\ y=2+2t\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 18   Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente sistema non omogeneo:

$$\begin{cases}2x +y-3z = 5 \\ 3x -2y +2z = 5 \\ 5x -3y-z = 16 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 2&1& -3&5\\ 3&-2& 2&5\\ 5&-3& -1&16 \end{matrix}\right).$$

Per ridurre la matrice a gradino scambiamo la prima e la seconda colonna, ottenendo così la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 1&2& -3&5\\ -2&3& 2&5\\ -3&5& -1&16 \end{matrix}\right).$$

Notiamo che l'aver scambiato le prime due colonne colonne della matrice implica che l'ordine scelto per le variabili, nello scrivere il sistema associato, diventa $y$, $x$, $z$. Una possibile riduzione per righe è:

$$\left( \begin{matrix}1&2& -3&5\\ -2&3& 2&5\\ -3&5& -1&16 \end{mat... ... \left( \begin{matrix}1&2& -3&5\\ 0&7& -4&15\\ 0&0& 26&-52 \end{matrix} \right)$$

Il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta e uguale a $3$. Il sistema allora ammette una unica soluzione. Per determinare la soluzione scriviamo, ricordando che abbiamo scambiato le prime due colonne, il sistema associato alla matrice ridotta:

$$\begin{cases} y+2x-3z=5\\ 7x-4z=15\\ 26z=-52. \end{cases}$$

La soluzione è:

$$\begin{cases} x=1\\ y=-3\\ z=-2 \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 19   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}kx -2y = k+1 \\ x +(k+3)y = 0 \\ (k-1)x -(k+5)y = k+1 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è:

$$\left( \begin{matrix} k&-2&k+1\\ 1&k+3&0\\ k-1&-k-5&k+1. \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione per righe è:

$$\left( \begin{matrix}k&-2&k+1\\ 1&k+3&0\\ k-1&-k-5&k+1. \end{matr... ...-k-5&k+1. \end{matrix} \right) \begin{matrix}II\\ I\\ III \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}1&k+3&0\\ 0&(k+1)(k+2)&-k-1\\ 0&(k+1)(k+2)&-k-1 \end{matrix} \right) \begin{matrix}I\\ -II+kI\\ -III+(k-1)I. \end{matrix}$$

Notiamo che la riduzione fatta ha senso per ogni valore del parametro reale $k$. Infatti nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito la seconda riga con $k$ volte la prima riga meno la seconda riga. Se $k=0$ quello che abbiamo fatto è sostituire la seconda riga con un suo multiplo non nullo.
Stesso discorso vale per la terza riga, infatti questa è stata sostituita con $k-1$ volte la prima riga meno la terza. Se $k=1$ di nuovo abbiamo sostituito la terza riga con un suo multiplo non nullo.

Ultimiamo ora la riduzione:

$$\left( \begin{matrix} 1&k+3&0\\ 0&(k+1)(k+2)&-k-1\\ 0&(k+1)(k... ...t( \begin{matrix} 1&k+3&0\\ 0&(k+1)(k+2)&-k-1\\ 0&0&0 \end{matrix}\right).$$

Per $k \neq -1,-2$ la matrice incompleta e la matrice completa hanno entrambe rango $2$ pertanto il sistema ammette una sola soluzione. La soluzione è:

$$\begin{cases} x= \displaystyle{\frac{k+3}{k+2}}\\ \\ y=- \displaystyle{\frac{1}{k+2}}. \end{cases}$$

Se $k=-1$ la matrice ridotta diventa:

$$\left( \begin{matrix} 1&2&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right).$$

La matrice completa e incompleta hanno entrambe rango $1$ pertanto il sistema ammette infinite soluzioni:

$$\begin{cases} x=-2t\\ y=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

Infine per $k=-2$ la matrice ridotta diventa:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{matrix}\right),$$

e il sistema non ha soluzioni. $\qedsymbol$

Esercizio 20   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}kx +2y +(k+1)z = 0 \\ x +(k+3)y= 0 \\ (k-1)x - (k+5)y -(k+1)z = 0 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice dei coefficienti del sistema è:

$$A= \left( \begin{matrix} k&2&k+1\\ 1&k+3&0\\ k-1&-k-5&-k-1 \end{matrix}\right).$$

Calcoliamo il determinante di $A$:

$$\dete(A)=-2k(k+3)(k+1).$$

Per $k \neq -3,-1,0$ la matrice $A$ ha rango $3$ e dunque il sistema ammette solo la soluzione banale:

$$x=0, \qquad y=0, \qquad z=0.$$

Se $k=0$ la matrice dei coefficienti diventa:

$$\left( \begin{matrix} 0&2&1\\ 1&3&0\\ -1&-5&-1 \end{matrix}\right),$$

che si vede facilmente avere rango $2$. Un minore di ordine due non nullo è, per esempio, il minore

$$\left\vert \begin{matrix} 0&2\\ 1&3 \end{matrix} \right\vert =-2 \neq 0.$$

Ne segue che il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni si determinano risolvendo il sistema

$$\begin{cases} 2y+z=0\\ x+3y=0 \end{cases}$$

da cui:

$$\begin{cases} x=\frac{3}{2}t\\ y=- \frac{t}{2}\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

Per $k=-1$ la matrice dei coefficienti del sistema è :

$$\left( \begin{matrix} -1&2&0\\ 1&2&0\\ -2&-4&0 \end{matrix}\right).$$

Di nuovo la matrice ha rango $2$ e il sistema ammette infinite soluzioni:

$$\begin{cases} x=0\\ y=0\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

Infine se $k=-3$ la matrice dei coefficienti diventa:

$$\left( \begin{matrix} -3&2&-2\\ 1&0&0\\ -4&-2&2 \end{matrix}\right).$$

Le soluzioni sono:

$$\begin{cases} x=0\\ y=t\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 21   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}(2k +1)x + (k+1)y +3kz = k \\ (2k -1)x +(k-2)y + (2k -1)z = k+1 \\ 3kx + 2ky + (4k -1)z =1 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice dei coefficienti del sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 2k+1&k+1&3k\\ 2k-1&k-2&2k-1\\ 3k&2k&4k-1 \end{matrix}\right).$$

Il suo determinante risulta essere

$$(k-1)^2(k+1)$$

sicchè per $k \neq \pm 1$ si ha una e una sola soluzione del sistema.

La soluzione, che si può determinare per esempio con il metodo di Cramer, è

$$\begin{cases} x= \displaystyle{ \frac{k(2k-7)}{k^2-1}}\\ \... ...k+1}}\\ \\ z=\displaystyle{ \frac{4k+1}{k^2-1}} \end{cases}$$

Per $k=1$ la matrice completa associata al sistema diventa:

$$\left( \begin{matrix} 3&2&3&1\\ 1&-1&1&2\\ 3&2&3&1 \end{matrix}\right),$$

che si può ridurre come segue:

$$\left( \begin{matrix} 1&-1&1&2\\ 3&2&3&1\\ 3&2&3&1 \end{matri... ...o \left( \begin{matrix} 1&-1&1&2\\ 0&-5&0&5\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right).$$

Si hanno infinite soluzioni del sistema :

$$\begin{cases} x=1-t\\ y=-1\\ z=t, \qquad t \in R. \end{cases}$$

Infine per $k=-1$ la matrice completa associata al sistema diventa:

$$\left( \begin{matrix} -1&0&-3&-1\\ -3&-3&-3&0\\ -3&-2&-5&1 \end{matrix}\right).$$

Una possibile riduzione è:

$$\left( \begin{matrix}-1&0&-3&-1\\ -3&-3&-3&0\\ -3&-2&-5&1 \end{ma... ...eadsto \left( \begin{matrix}1&1&1&0\\ 0&1&-2&-1\\ 0&0&0&2 \end{matrix} \right).$$

Segue che il sistema non ammette in questo caso alcuna soluzione. $\qedsymbol$

Esercizio 22   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}x + y +kz = 2 \\ x + y +3z =k-1 \\ 2x + ky - z = 1 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&k&2\\ 1&1&3&k-1\\ 2&k&-1&1 \end{matrix}\right).$$

Una possibile riduzione per righe è la seguente:

$$\left( \begin{matrix}1&1&k&2\\ 1&1&3&k-1\\ 2&k&-1&1 \end{matrix} ... ...gin{matrix}1&1&k&2\\ 0&0&k-3&3-k\\ 0&k-2&-1-2k&-3 \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}1&1&k&2\\ 0&k-2&-1-2k&-3\\ 0&0&k-3&3-k \end{matrix} \right).$$

Per $k \neq 2,3$ la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $3$ e il sistema ammette una unica soluzione.
La soluzione è :

$$\begin{cases} x= \displaystyle{\frac{k(k+2)}{k-2}}\\ \\ y=-2 \displaystyle{\frac{k+2}{k-2}}\\ \\ z=-1. \end{cases}$$

Per $k=2$ la matrice ridotta diventa:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&2&2\\ 0&0&-5&-3\\ 0&0&-1&1 \end{matrix}\right)$$

da cui si deduce facilmente che il sistema non ha soluzioni per $k=2$.

Per $k=3$ invece la matrice ridotta si riscrive:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&3&2\\ 0&1&-7&-3\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right).$$

In questo caso la matrice completa e incompleta hanno entrambe rango $2$. Il sistema ammette le infinite soluzioni seguenti:

$$\begin{cases} x=5-10t\\ y=7t-3\\ z=t, \quad t \in R. \end{cases}$$

$\qedsymbol$

Esercizio 23   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}x +y +kz = 1 \\ x +ky +z =1 \\ kx +y +z = 1 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice dei coefficienti del sistema è:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&k\\ 1&k&1\\ k&1&1 \end{matrix}\right)$$

il cui determinante è pari a:

$$\dete(A)=-(k+2)(k-1)^2.$$

Per $k \neq 1,-2$ il sistema ammette una e una sola soluzione . Determiniamo la soluzione utilizzando la regola di Cramer. Risulta:

$$x = \frac{ \left\vert \begin{matrix}1&1&k\\ 1&k&1\\ 1&1&1 \end{matrix} \right\vert }{ \dete(A)}= \frac{1}{k+2}$$

$$y = \frac{ \left\vert \begin{matrix}1&1&k\\ 1&1&1\\ k&1&1 \end{matrix} \right\vert}{ \dete(A)}= \frac{1}{k+2}$$

$$z = \frac{ \left\vert \begin{matrix}1&1&1\\ 1&k&1\\ k&1&1 \end{matrix} \right\vert}{ \dete(A)}= \frac{1}{k+2}.$$

Per $k=1$ la matrice completa del sistema è

$$\left( \begin{matrix} 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{matrix}\right).$$

Si vede facilmente che la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $1$. Il sistema ammette infinite soluzioni che sono le soluzioni dell'equazione

$$x+y+z=1.$$

Risulta allora:

$$\begin{cases} x=1-s-t\\ y=s\\ z=t, \quad s,t \in R. \end{cases}$$

Se $k=-2$ la matrice completa del sistema diventa:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&1\\ 1&-2&1&1\\ -2&1&1&1 \end{matrix}\right).$$

Riduciamo la matrice a gradino:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&-2&1\\ 1&-2&1&1\\ -2&1&1&1 \end{mat... ...o \left( \begin{matrix} 1&1&-2&1\\ 0&3&-3&0\\ 0&0&0&3 \end{matrix}\right).$$

Segue che, per $k=-2$, il sistema non ammette alcuna soluzione. $\qedsymbol$

Esercizio 24   Discutere l'esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale $k$. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

$$\begin{cases}x+ky+2z = 1 \\ x + y +3z =2 \\ 2x +ky +z =1 \\ 3x +2ky +3z =2 \end{cases}$$

Dimostrazione. La matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 1&k&2&1\\ 1&1&3&2\\ 2&k&1&1\\ 3&2k&3&2 \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione è la seguente:

$$\left( \begin{matrix}1&k&2&1\\ 1&1&3&2\\ 2&k&1&1\\ 3&2k&3&2 \end{... ...-6&-4 \end{matrix} \right) \begin{matrix}I\\ II-I\\ III-2I\\ IV-3I \end{matrix}$$

Ora scambiamo la seconda e la terza colonna cambiando così l'ordine delle variabili in $x$, $z$ e $y$. Otteniamo:

$$\left( \begin{matrix}1&3&1&2\\ 0&-1&k-1&-1\\ 0&-5&k-2&-3\\ 0&-6&2... ...\end{matrix} \right) \begin{matrix}I\\ II\\ 5I-II\\ 6I-IV \end{matrix} \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}1&3&1&2\\ 0&-1&k-1&-1\\ 0&0&4k-3&-2\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right).$$

Per $k \neq \frac{3}{4}$ il sistema ammette una sola soluzione:

$$\begin{cases} x= \displaystyle{\frac{2k-1}{4k-3}}\\ \\ y... ...k-3}}\\ \\ z= \displaystyle{\frac{2k-1}{4k-3}}. \end{cases}$$

Per $k= \frac{3}{4}$, invece, non esistono soluzioni. $\qedsymbol$

Esercizio 25   Determinare i valori del parametro reale $k$ tali che il sistema

$$\begin{cases}x+y+kz = 2 \\ 3x +4y +2z =k \\ 2x +3y -z =1 \end{cases}$$

abbia, rispettivamente, una unica soluzione, nessuna soluzione o più di una soluzione.

Dimostrazione. Il determinante della matrice dei coefficienti è pari a $k-3$, sicchè per $k \neq 3$ il sistema ammette una unica soluzione. Se $k=3$ la matrice completa associata al sistema è la matrice:

$$\left( \begin{matrix} 1&1&3&2\\ 3&4&2&3\\ 2&3&-1&1 \end{matrix}\right).$$

Si vede facilmente che la prima riga è uguale alla seconda riga meno la terza e, d'altra parte la seconda e la terza riga non sono tra loro proporzionali. Ne segue che, per $k=3$, il sistema ammette infinite soluzioni. $\qedsymbol$