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Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle
prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.
Domande.
- Siano
e
due sottospazi vettoriali di
,
una base di
e
una base di
.
E' vero che
è
una base di
?
- È vera la seguente affermazione: una matrice triangolare è sempre diagonalizzabile?
Dimostrarla o trovare un controesempio.
- Siano
,
e
tre piani in
a due a due non paralleli.
Sia
la retta intersezione di
e
,
la retta intersezione di
e
.
Si dica se
ed
possono essere sghembe.
- Siano
,
applicazioni lineari con
.
Descrivere l'applicazione
.
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del
parametro reale
:
2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice
e trovare, se possibile, una base di autovettori.
3) Sia
la retta passante per
e
;
la retta perpendicolare
a
e passante per
. Si calcoli la distanza di
ed
.
4) Siano
definite da
e
,
con
parametro reale.
Determinare i valori di
per cui
è invertibile e per tali
valori scrivere la matrice dell'inversa rispetto alle basi canoniche.
Soluzione
Domande
- La risposta è no. Infatti in generale i vettori
sono linearmente dipendenti. Per esempio
e
.
- La risposta è no. Per esempio la matrice
è triangolare ma non diagonalizzabile.
- La risposta è no. Infatti
e
sono complanari poichè giacciono entrambe sul piano
.
Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:
Riduciamo la matrice a gradino usando il mnetodo di Gauss.
Una possibile riduzione è:
Possiamo ridurre ancora e otteniamo la matrice:
Per
non esistono soluzioni del sistema.
Per
il sistema dato è equivalente al
sistema
che ammette infinite soluzioni:
Se
esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è
Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :
dunque gli autovalori sono
con molteplicità algebrica
e
con molteplicità algebrica
.
L'autospazio relativo all'autovalore
è
L'autospazio relativo all'autovalore
è
Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e una base di autovettori è data
Esercizio 3.
La retta
ha equazione parametrica:
mentre la retta
ha equazione parametrica
La direzione di una generica retta incidente
e
è
Affinché questa retta sia ortogonale a
deve essere
mentre affinché sia
ortogonale a
deve essere
.
Queste due condizioni forniscono il sistema
da cui si ottiene
Il punto di intersezione tra la retta
e la retta ortogonale ad
e
è:
mentre il punto di intersezione tra la retta
e la retta ortogonale ad
e
è:
La distanza tra le rette
e
è pari alla distanza tra
e
:
Esercizio 4.
Scriviamo le matrici di
,
e
rispetto alla base canonica di
.
La matrice della applicazione
è:
Per scrivere la matrice della applicazione
bisogna determinare
e
.
Ora
pertanto
In definitiva
Risulta allora
Infine la matrice di
è:
Il determinante della matrice è
Pertanto
è invertibile per ogni
in
. La matrice dell'inversa rispetto alla base
canonica è:
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Andreatta Marco
2000-09-18